镜像世界探秘17——几何朗兰兹与镜像理论

朗兰兹纲领（Langlands program）是数学中一系列影响深远的构想，用于联系与统一各个数学分支，特别是有关数论、代数几何与群表示理论，常被喻为数学的大统一理论。这种统一的思想，即不同的数学分支不过是以罗塞塔石碑（Rosetta Stone）的方式或者说不同的抽象语言和角度来描述同一个数学实在，最早来自于大数学家 André Weil（安德烈·韦伊）在给他的哲学家妹妹的一封信中讨论的深刻洞见。而这个纲领的精髓则来自另一封信，一封由 Robert Langlands (罗伯特·朗兰兹) 于1967年写给 André Weil 的手写的17页信件。这项宏大的研究计划自此引领了当代数学的发展，直接导致了著名的费马大定理（Fermat’s Last Theorem）的证明，Wiles 因此享誉全球。

几何朗兰兹 (geometric Langlands correspondence) 可以视为数域上的朗兰兹纲领在几何（代数曲线和黎曼曲面）上的表述。今年五月，以 Dennis Gaitsgory 为首的九人合作团队宣布经过多年努力他们终于解决了几何朗兰兹猜想，全部证明包括五篇论文上千页的论证。种种迹象表明，以及其他相关数学家的支持，他们的证明大概率是正确的（参见 这篇 Quanta Magazine 的科普报道）。那么，几何朗兰兹的真正的物理意义是什么呢？

朗兰兹纲领实际上是伽罗华（Galois）群论及其表示理论的一个极深奥而更抽象的拓展并用以联系各个数学子领域，一个特别神奇的地方就是，给定一个群 G (比如物理上的规范群)，可以构造一个朗兰兹对偶群（Langlands dual group） ^LG，其 root datum 正好是群 G 的 root datum 的对合（involution），即这两个 root data 互相对偶。这个朗兰兹对偶是理解其物理意义的关键所在，它与镜像理论里的镜像对称（mirror symmetry）的联系就是本文的重点。

 Anton Kapustin 和 Edward Witten 于2007年在他们200多页的长文 [Comm. Num. Theory & Phys. 1 , 1 (2007), arXiv:hep-th/0604151] 中详细讨论了黎曼曲面上的几何朗兰兹对偶和量子场论中的 S-duality 的关系。作者 Witten 指出 Atiyah 在1977年可能是第一个意识到几何朗兰兹与量子场论的联系。而这种联系来自于第一个发现的 S-duality，即 Montonen–Olive duality（也常称为 electric–magnetic duality – 电磁对偶）[Phys. Lett. B72, 117 (1977)] 。其实把这个对偶理解为简单的电磁对偶是一种误解。在超对称镜像场论的框架下，正确的理解应该是，普通电场的对偶是镜像磁场，反之，镜像电场的对偶是普通磁场。电磁互换导致普通和镜像的两个场的定向正好相反，与我们讨论的镜像对称密切相关。

当理论物理学家讨论这些对偶关系时，一个重大的误区是他们经常将其看作是两个理论之间的对偶关系，从而可以用一个理论的工具解决另一个对偶理论的问题，这种实用主义的观念导致了迟迟未能用这些数学进步来发展镜像理论（mirror matter theory）。这种情况我们在前面讨论过的镜像理论与超弦理论的关系时已经深切体会到。下面我们将会看到这些关系实际上和普通粒子世界与镜像粒子世界的对偶紧密相关。

事实上，Montonen–Olive duality 确实只有在 N=4 的超对称规范场论下才成立[Phys. Lett. B83, 321 (1979)]，正是几何朗兰兹对偶的一个具体实现。这一对偶自然诱导出耦合常数的对称性，于是弦论家们更热衷于将其理解为不同理论之间的关系，特别是关于强弱耦合的对偶可以极大促进非微扰的计算。但是下面我们重新将其本质理解为镜像对称的一个实现。

镜像对称在量子场论里是一种局域定向对称性（详情参见前文14-到底什么是镜像对称和超对称？），在4维时空下就是普通与镜像两个粒子世界的对偶，因此，Montonen–Olive duality 给出的是 关于我们的普通粒子世界的规范作用（比如 U(1)）和镜像粒子世界的反向规范作用（比如 U'(1)）之间的对偶。

镜像理论的最新进展给出了其与超弦理论的密切关系（详情参见前文15-超弦理论与镜像理论和论文 Symmetry, 15(7), 1415 (2023)）。特别地，其4维时空下的超对称镜像模型给出的就是一个 N=1 的超对称紫外场论（SMM4）和一个 N=4 的(伪)超对称红外场论（SMM4b）。其中 SMM4b 自然地给出了普通粒子世界的我们熟知的标准模型规范作用：U_Y(1)xSU_L(2)xSU_c(3)。而镜像粒子世界的反向规范作用则是 U’_Y(1)xSU’_R(2)xSU’_c(3)，恰好就是其朗兰兹对偶群。

G ←→ ^LG
U_Y(1) x SU_L(2) x SU_c(3) ←→ U’_Y(1) x SU’_R(2) x SU’_c(3)
普通粒子及相互作用 ←→ 镜像粒子及相互作用

而这种4维时空下的超对称场论的对偶通过紧致化可以自然地过渡到2维时空下的 T-duality （参见 [Nucl. Phys. B448, 166 (1995)] 和 [Phys. Rev. D52, 7161 (1995)]），这正是镜像理论中超对称镜像模型在4维和2维时空之间的幺正演变，一个镜像对称的具体实现。数学上的朗兰兹对偶就是物理上的镜像对称的对偶。

另一个相关的对偶，Seiberg 对偶 (Nucl. Phys. B. 435, 129, 1995)，也是 S-duality 的一种，说的是两个 N=1 的超对称理论的对偶，其中规范群 SU(N_c) 的对偶群是 SU(N_f-N_c)。其实这正是 SMM4 的夸克部分，三个色荷 N_c=3，六味夸克 N_f=6，给出镜像对偶：SU_c(3) <-> SU’_c(3)，而后者正是镜像夸克相互作用。

与几何朗兰兹的一个更进一步的神奇关系也许来自于物理世界的动态的统一。特别地，镜像理论里的时空暴胀原理：通过维度相变，时空是一维一维暴胀出来的并定义了物质场及其作用。而几何朗兰兹这种罗塞塔石碑方式的对不同分支的联接也很可能体现了这种时空维度相变，从素数，到有限域，到复数域，对应的恰好是宇宙从0维的量子混沌到一维和二维的演变，包括对可能的过渡相的分形（fractal）维数的描述，并保证了这种演变的幺正性或全息性（尽管是不可逆的）。或许，我们的宇宙确实诞生于素数，而几何朗兰兹这样的数学统一纲领正是反映了我们宇宙演化的动态统一。