镜像世界探秘15——超弦理论与镜像理论

超弦理论(Superstring Theory)的发展有很长历史了。它起源于上世纪60年代末，最早是想解决夸克的强相互作用的。然而同时期SU(3)规范理论的发展可以更好地解释夸克的强相互作用，特别是夸克的渐近自由，从而迅速赢得了大家的支持，很快成为了标准模型（Standard Model）的一部分。于是弦理论便如昙花一现少有人问津了。但仍有一部分人认为超弦理论可以成为一种统一广义相对论和标准模型的量子引力理论。其中有两位孤独的勇士 John Schwarz 和 Michael Green 仍在坚持，他们终于在 1984 年解决了超弦理论中的反常问题，从而发起了第一次超弦革命。特别地，Schwarz 在这一落寞时期没有在 Princeton 拿到终身教职(tenure)，而不得不在 CalTech 做了十几年的博士后(research associate)，当然他成名后立即在 CalTech 拿到了终身教职。

然后又过了相对平静的十年，第二次超弦革命再一次把超弦理论推向一个新高度。Witten 提出了统一已知超弦模型的 M-Theory。Polchinski 发展了内涵极为丰富的 D-brane 物理，并且直接导致了 Maldacena 于1997年末的巅峰工作- AdS/CFT duality (一种更广义的全息理论下的规范引力对偶的实现)，这大概也是超弦理论发展的顶峰。从那以后，超弦的发展就开始走下坡路了。首先是与最新观测到的宇宙加速膨胀所预示的宇宙学常数或暗能量不相容，然后是弦理论真空的 landscape 问题所导致的困惑，最后压垮骆驼的稻草就是CERN 的大型强子对撞机 LHC 寻找超对称的失败。各种对超弦理论甚至继续这一理论研究方向的质疑不断 。其中比较有名的争议包括圈量子引力主要贡献者 Lee Smolin 写的科普书《The Trouble With Physics》，以及哥伦比亚大学的 Peter Woit 写的《Not Even Wrong》。超弦理论的研究再一次陷入低谷。难道超弦理论真的就只是一个优美的但与这个宇宙无关的数学形式吗？

这篇文章就是想用比较通俗的语言来回答这个问题。让我们来看看，超弦这个充满魔力的数学工具是如何与我们发展的镜像物质理论（mirror matter theory）紧密联系在一起的。其中主要结论基于如下发表的论文：“Mirror symmetry for new physics beyond the Standard Model in 4D spacetime”，发表在Symmetry, 15(7), 1415 (2023)。

在《镜像世界探秘》系列的上一篇（14-到底什么是镜像对称和超对称？）文章中，我们已经看到了新镜像世界理论真正发掘了量子场论下洛伦兹对称性的完整物理意义。这就是镜像对称（mirror symmetry）作为延展的四维时空流形的局域定向对称性要求一套新的镜像粒子及其相互作用必须存在于我们的宇宙。这一新的镜像世界（mirror sector）几乎就是我们所熟知的标准模型粒子组成的普通世界（ordinary sector）的近乎完美的拷贝，两个粒子世界共享同一个时空舞台。

镜像对称，这一新理论中最重要的概念和弦论的联系，在上一篇文章中也得到了初步的展现。弦论中两个重要的数学发现，T对偶（T-duality）和 Calabi-Yau 流形的镜对称（CY mirror symmetry）其实就是新的镜像对称概念的具体实现。然而新镜像世界理论与弦论的关系还远远不止这些。

超弦理论中有一个广为人知的结论，那就是超弦世界必须是10维的才能保证它的一致性。超弦理论的这个10维于是被称作临界维度（critical dimension）。其实超弦理论存在两个临界维度，另一个就是二维。在这两个维度下，超弦理论都能保持它的一致性。下面我们将会看到，这两个维度在理解新镜像理论中的时空暴胀原理和超对称镜像模型（SMM2, SMM2b, SMM4, SMM4b）所起的关键作用。

为了保持超弦理论的一致性，我们需要消除它的共形反常，为此我们需要引入一套 Faddeev–Popov 鬼场（ghost fields）的办法。在二维时空下，我们需要引入自旋分别为 1/2 和 1 的两个鬼场来抵消反常。而十维的情形则需要引入自旋为 3/2 和 2 的鬼场。这是保证超弦理论一致性的仅有的两种情形。新镜像理论中的时空暴胀原理说的是我们宇宙的延展的时空维度是一个个暴胀出来的，从零维，一维，二维，到现在的四维，每一维下不同的基本粒子及其相互作用都会衍生出来（emerge）。全息原理包括规范引力对偶就是来描述这个时空维度的相变是一个全息的过程。超弦理论作为数学工具正好提供了对新镜像理论的二维及以上的情形的数学描述。

二维是一个特殊的维度，超对称要求至少两维的世界，粒子才能拥有自旋，各种丰富的物理才开始涌现出来。弦论最核心的精义其实就是提供一个普适的带复结构（complex structures）的量子场论的数学框架，于是它自然地要求超对称和普适的 U(1) 规范结构。最简洁地说，弦论就是复场论。

量子场论包括弦论都可以用微分几何的纤维丛（fiber bundles）语言来表达。用形象的语言来说，纤维丛就像一块韭菜地，底流形（base manifold）是地，纤维空间（fiber space）就是韭菜。新语言可以帮我们更好地理解超弦与新镜像理论的联系。具体地来说，延展的时空就是纤维丛的底流形或其展开部分。场论的内部空间或未延展的自由度就是纤维空间或底流形的卷曲部分。

二维情形下的超对称镜像模型（SMM2, SMM2b）于是可以很容易地与弦论联系起来。其对应的是最简单的弦论：二维的延展时空（底流形或target space由Ricci 平坦的二维引力决定）加上二维的内部空间（弦世界面）。SMM2 就对应着最简单的U(1)超对称规范理论，包含无质量的 Majorana 费米子和U(1)规范玻色子。它们组成理想流体，可以完美地描述 Schwarzschild 黑洞的微观物理【Int. J. Mod. Phys. D 30, 2142020 (2021)】。SMM2b 描述的是一个动力学的对称自发破缺的理论，前面提到的Majorana 费米子凝聚成两个手征标量粒子，或者说全纯/反全纯标量场（holomorphic / anti-holomorphic scalars）。这变成一个简单的 N=(1,1) 的超对称模型，对应着卷曲的二维内部空间的进一步延展，可以用来描述早期宇宙的暴胀或黑洞的坍缩过程。

然而弦论要求下一个临界维度必须是10维，而我们现在的时空却是四维，这是怎么回事呢？其实这一切都是自洽的。宇宙现在的底流形确实是10维的，但是只有四维是延展的，其中的两个新的空间维度来自前面提到的两个标量场导致的暴胀。量子场论告诉我们，相互作用的标量场理论（ϕ⁴ 理论）在高于四维的时空是不可以重整的，换句话说，底流形最多只有四维是可以延展的否则就会无法自洽。那么底流形的剩下的 6 个维度就必须是卷曲的(compactified)，下面我们会看到这对应的就是所谓的夸克禁闭。

其实在很早的标准模型刚建立的时期，就有迹象表明10维世界的可能。Georgi 和 Glashow 早在 1974 年就提出了 SU(5) 大统一理论 【Phys. Rev. Lett. 32, 438, 1974】。它们依据的就是一个很有意思的分解 SU(5) -> SU(3)xSU(2)xU(1)/Z₆，其中分解后的就是标准模型的规范群（SU(3)对应强相互作用，SU(2)对应弱相互作用，U(1)对应电磁相互作用，当然这个模型无法解释SU(2)的手征性）。而 SU(5) 则可以看作 10 维空间（Calabi-Yau 流形）的和乐群（holonomy）。

依据同一个分解，John Baez 在2005年【arXiv:hep-th/0511086】重新强调了这一十维（Calabi-Yau）空间分解对标准模型对称群的意义，特别地，他利用这一分解完美地构造了标准模型中一代费米子的表示。可是我们有三代费米子。而且我们知道弱相互作用是手征的(与电磁和强作用不同)，即SU(2)只能是左手的。那么我们还缺失了什么信息呢？

答案在一个早期弦论的结果中几乎就呼之欲出了。在第一次超弦革命时期， Gross, Harvey, Martinec, 和 Rohm 于1985年提出了杂化弦（Heterotic String）理论【Phys. Rev. Lett. 54, 502, 1985】。他们通过结合一个26维的左手玻色弦和一个10维的右手超弦，然后紧致化多余的16维得到了一个左手的杂化弦理论。在新镜像理论的框架下，我们可以看到杂化弦的真正的重要意义：左手杂化弦 + 右手杂化弦 -> 四维超对称镜像模型。其中左手杂化弦就对应着我们的普通粒子世界，右手杂化弦对应镜像世界。

以左手杂化弦为例，这共享的10维就是底流形，多出的16维玻色弦自由度就是纤维空间（注意，它是左手的）。与前人的理解稍有不同，底流形的分解（或者更准确地说，其切空间的分解），对应物质粒子场的分裂（而不是规范群的）。如前所述，重整化要求分解为 10维=4维+6维，其中四维的延展时空诞生了轻子（比如电子和中微子），六维卷曲的CY空间诞生了夸克。这就是为什么轻子可以在我们的四维时空自由传播，而夸克只能被禁闭在六维卷曲的CY空间。

普适的 U(1) 规范就是与电磁作用紧密相关的U_Y(1)作用。六维卷曲的CY空间同时定义了夸克的SU(3)强相互作用。而左手的弱相互作用SU_L(2)就来自于左手杂化弦的16维纤维空间。首先这左手的16维空间给出规范群SU_L(8)，它也必须按底流形来分解，其中对应四维时空的给出了弱相互作用SU_L(2)，对应六维夸克空间的SU_L(6)由于反常会进一步破缺。在高能极限处（SMM4模型），SU_L(6)破缺成为u,d夸克的同位旋规范群SU_I(2)。在这个超对称模型中，每一世界费米子只有一代30个自由度（即 Baez 表示），对应着以上构造的前标准模型（prior-Standard-Model）的规范群的自由度。特别地，中微子由两个世界（ordinary and mirror sectors of particles ）共享，即左手中微子参与左手或普通世界的弱相互作用，而右手中微子则在右手或镜像世界。

低能下的对称自发破缺使得SMM4变成SMM4b，基本粒子获得质量，费米子由一代变成三代（三个延展的空间维对应三个不同的复化切空间，给出三代费米子的表示），四维时空完全延展。夸克空间的SU_L(6)成为6味夸克的全局对称群，经过手征破缺，最终成为一系列全局的近似对称性（同位旋和 t,b,c,s 的夸克数及重子数守恒）。由此，我们得到了现代物理的标准模型。特别地，由6味夸克凝聚而成的6个 Higgs 标量场（对应6个无法延展的底流形的维度），尤其是 top 夸克对应的 Higgs 场，提供了基本粒子的质量生成机制。其中更精妙的部分（包括暗物质，暗能量，中微子质量，n-n’ 振荡，等等）则需要更完全的镜像理论来描述（参见本系列的其他博文）。

超弦理论与镜像理论的完美结合，如上所述，可以对许多粒子物理疑难给出非常自然的解释，比如标准模型的规范群或相互作用的起源，特别是弱相互作用的手征性来源，为什么有三代费米子，为什么夸克会被禁闭，等等。弦理论的进一步发展无疑将会给镜像理论带来更大进展和更坚实的数学基础。