镜像世界探秘14——到底什么是镜像对称和超对称？

本文基于如下发表的论文：“Mirror symmetry for new physics beyond the Standard Model in 4D spacetime”，发表在Symmetry, 15(7), 1415 (2023)。 较早期的探讨参见未发表的预印本：“Dark energy and spontaneous mirror symmetry breaking” 和 “Supersymmetric mirror models and dimensional evolution of spacetime”。下面我们尝试用较通俗的语言来讲述镜像世界理论（mirror matter theory）中最重要的概念–镜像对称（mirror symmetry）和对流行的概念超对称（supersymmetry）的重新理解。特别地，我们将揭示镜像对称的深刻的几何起源，以及镜像对称和超对称这种分立对称性是如何像正反粒子对称性（或时间反演对称性）一样扩展或联系我们已知的基本粒子体系。

首先我们重新审视一下四维时空的洛伦兹对称性（Lorentz invariance）。这是爱因斯坦首先在他的狭义相对论里认识到的对称性。然后人们认识到它的普遍性，最终成为了现代量子场论的一个基石。洛伦兹不变性所对应的对称群是一种伪正交群 O(1,3)，四维时空（伪黎曼流形）下的一个自然要求。从几何的观点看，它表征的是物理规律在四维时空下的不变性，或者用微分几何的语言来说，它就是保度规(即物理规律)的和乐群（holonomy group）。这个群包括连续对称性比如三维空间内的旋转对称性，以及不同惯性参考系的连续变换(Lorentz boosts)–相当于关于时间维度的旋转。但更紧要的，它还包括两个独立的分立对称性：一般我们选取，一个是空间反演或宇称对称性 P，另一个是时间反演或可逆对称性 T。

这两种分立对称性将洛伦兹群O(1,3)分成拓扑上不等价的四个组分，用前面提到的宇称P和时间反演T来表示就是：{1，P，T，PT}。1表示包含群恒等元的组分，PT表示同时做宇称和时间反演的组分。这是物理上常用的一种表示。但从数学角度，存在一种更自然的表示。利用一个（伪）正交群自然的普遍性质，我们有如下洛伦兹群分解：O(1,3)=O(1) x SO(1,3)。我们发现 O(1)=Z₂  就是一个最简单的二元分立对称群，表示的就是时空的定向对称性（orientation symmetry），这和我们下面要讨论的镜像对称紧密相关。

一般的流形都有两个定向，比如，一个球面有朝里和朝外两个定向，但科普里常提到的莫比乌斯（Möbius）面只有一个定向。其实定向对称性是一个普遍的流形性质，不光是4维的时空流形，也包括任意流形，甚至流形如 Möbius 面在局域上也有两个定向，只是在整体拓扑上联系在一起。把洛伦兹群 O(1,3) 看成矩阵，我们发现它的矩阵行列式（determinant）具有两个分立的值±1。这两个值正好对应着两个定向之间的变换。

利用这个定向分立对称性和时间反演T，我们同样可以把洛伦兹群分成四个组分。其中包含恒等元的组分一般称作固有或正规正时（proper, orthochronous）洛伦兹群，写做 SO⁺(1,3)。这个固有子群显然是保定向的，即它的行列式是+1。

从相对论的角度或纯群论的角度，这个洛伦兹对称群 O(1,3) 已经完全清楚了。然而从量子场论的角度却不是那么清楚。因为在量子场论里，我们不但有四维时空，还要处理内部空间和自由度。或者从数学的角度看，量子场论的数学载体是纤维丛 (fiber bundle)，时空不过是纤维丛的底流形 (base manifold) 或底流形的一部分。然而传统的量子场论并没有发展出处理定向对称的工具。比如，对电子和夸克等费米子，传统量子场论使用一套狄拉克矩阵（Dirac gamma matrices）的语言来描述。而狄拉克矩阵的行列式都是+1，也就是说，传统量子场论处理的都是符合同一时空定向的基本粒子。

那么，有不有可能存在一套不同的基本粒子刚好具有相反的定向？在上世纪六十年代，维格纳（Eugene Wigner）首先在他的暑期讲义里认识到洛伦兹对称群的分立对称性应该让已知的粒子态加倍。大物理学家温伯格（Steven Weinberg）在他著名的《量子场论》教科书里对这个问题也有更深入的讨论。事实上，从群论的角度来看可以比较容易理解这个问题。基本粒子应该是洛伦兹群的不可约表示。那么，洛伦兹群的每一个分立对称性必然将基本粒子数加倍。已知的时间反演T或CP对称性（量子场论的CPT定理保证T和CP是一样的）恰好通过正反两套粒子的存在来加倍粒子总数。自然地，时空的定向分立对称性就应该增加另一套反定向的基本粒子，这就是我们镜像物质理论（Mirror Matter Theory）里所提出的镜像粒子（Mirror Particles）。【注解：量子场论里的宇称算符P不是最基本的，而且是保定向的（行列式为+1），所以不是我们这里讨论的定向或镜像对称。但这个分立对称性也增加了粒子的自由度，即粒子分为左手的和右手的，我们称之为手征性（chirality）。】

所以，正如洛伦兹群有四个组分，基本粒子也应该分成四个部分：正粒子，反粒子，镜像正粒子，镜像反粒子。传统量子场论只能描述前两个部分。那么问题就变为我们如何在场论中引入这种镜像对称（mirror symmetry），或者说局域的定向对称性（local orientation symmetry）。

一个自然的考虑是，量子场论的内部或局域空间既然都必须是酉空间（一种复数空间），复共轭作为一个二元对称性必然与镜像对称有关。数学上的全纯（holomorphic)和反全纯(anti-holomorphic)的概念，正是对复数及其共轭空间的解析描述，应该与镜像对称紧密相关。而从几何上的定向性考虑，内部空间的最自然的定向对称性就是向内<->向外 (inward <-> outward)。这立刻让我们把镜像对称与超弦理论（superstring theory）联系起来。

弦理论提供了一套优美的数学工具来进一步理解我们的镜像物质理论，特别是理解镜像对称的深刻含义。弦论最本质的精神是它是定义在一个二维世界面（一维复空间）上的理论，它非常自然地引入了普适的 U(1) 规范和复结构。特别地，弦理论里有一个T对偶（T-duality）是关于紧致化弦半径的对称 R<->1/R，用来描述弦理论之间的对偶。其实，这正是镜像对称复一维（实二维）的一个实现，R<->1/R 对称就是镜像对称所需要的内外对称。但我们不应该把它看作是不同理论的对偶，而是应该看作是普通-镜像粒子及其相互作用的对称性，或者说是两个粒子世界的对偶。进一步考察，我们发现这一对偶与内部宇称（世界面），内部手征变换（target space），全纯和反全纯对偶（复化后），都联系在一起。

T对偶的高维推广就是所谓的Calabi-Yau流形的镜对称（CY mirror symmetry）。由 Andrew Strominger, Shing-Tung Yau（丘成桐）, and Eric Zaslow 在 1996 年提出的 SYZ 猜想指出了T对偶与CY镜对称的联系。复三维（实六维）的CY镜对称其实就是我们这里讨论的镜像对称的关于夸克及强相互作用空间的一个实现。现在CY镜对称已经是一个重要的数学课题，特别是在 Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, 和 Linda Parkes 在他们1991年的论文里用CY镜对称解决了一个长期的代数几何难题之后。数学上的深奥和困难大概也是为什么传统量子场论没有更早地发展出其镜像的拓展。弦论确实是一个优秀的数学工具，但只有把弦论的数学成果放到镜像物质理论的框架下，我们才能理解它们的真正的物理意义（我们以后会着重介绍弦论与镜像理论的联系）。

综上，我们可以用更通俗的语言和图像来理解镜像对称。普通和镜像粒子分享同一个时空舞台。我们可以想象延展的时空像一张纸，爬在上面的蚂蚁就像普通粒子，爬在纸下面的蚂蚁就像镜像粒子，它们可以占据纸上的同一点却无法真正“相遇”（规范相互作用），虽然它们都可以引起或感受纸张的弯曲（引力）。

超对称（supersymmetry）是另一个深刻的分立对称性。它是我们前文讨论过的时空暴胀原理下的二维及以上时空里涌现的对称性，是一种连接费米子和玻色子的对称性。超弦理论和其他流行的超对称理论在理解超对称上存在一个误区：总想用超对称重新构造一批新的未知的超对称粒子（主要原因大概是想用来解释暗物质）。这是这些理论和模型失败的一个根本原因。而日内瓦的大型强子对撞机（LHC）始终无法发现这些预言的超对称粒子，进一步证明了这些理论的错误。

其实，真正需要我们发现的新粒子是上面讨论的镜像对称所要求的镜像粒子（它们构成暗物质世界）。超对称作为一种分立对称性，确实也对应着基本粒子的加倍，但不是新的加倍，而是我们已知的基本费米子和玻色子的对称性。所以超对称一直在我们已知的粒子里存在着，只是破缺的太厉害，以至于我们天天面对而不知道。最早先认识到这种可能性的人之一是大物理学家南部阳一郎（Nambu，2008诺奖得主），他提出的准超对称（quasi-SUSY）的思想就被推广到镜像物质理论的框架下。例如，我们已知的夸克和轻子其实就是规范玻色子（比如光子）的超对称粒子。

在这一新理解中，一个立即的问题是，已知的基本粒子中似乎有太多的费米子（夸克和轻子）自由度。而没有相同的规范玻色子的自由度，超对称是无法成立的。其中在我们的普通物质世界，三代夸克共有 72 个自由度，带电轻子有 12 个， 中微子只有 6 个（都是左手的），所以总共有 90 个费米子自由度。然而，强相互作用的规范胶子（gluon）有 16 个自由度，弱作用的有质量的规范 W± 和 Z 粒子有 9 个，再加上电磁作用的光子只有 2 个，一共才 27 个规范玻色子的自由度。那缺失的 63 个自由度在哪里？

在新镜像物质理论里，6 个夸克之间的 U(6) 味规范对称性在弱作用的 SU(2) 规范自发对称破缺后也遭到破坏。而这将导致伪规范玻色子（pseudo-Nambu-Goldstone bosons）的生成，其自由度正好是 63 个。于是我们看到，自发对称破缺后的“标准”模型粒子确实满足一种伪超对称性（pseudo-SUSY）。从另一个角度说，这很可能是为什么基本粒子有三代以及为什么中微子会简并的根本原因，否则的话就无法满足新理解的超对称。

超对称还是粒子自旋自由度的起源，它架起了不同粒子自旋之间的桥梁。也正是超对称自洽地决定了在不同的时空维度下涌现出不同的基本粒子集。例如，在二维时空下，超对称保证Majorana费米子和U(1)玻色子的存在。而组成绚烂的四维大千世界的我们熟知的基本粒子谱也是由超对称自洽决定的。

正确理解镜像对称和超对称是理解新镜像物质理论的关键（它们也是 supersymmetric mirror models–SMM2, SMM2b, SMM4, SMM4b 名字的来源）。正是这两个分立对称性构成了我们宇宙中基本粒子体系的骨架。结合由弦理论所发展起来的数学工具，我们终将掀起镜像宇宙的神秘面纱。